Desafinar para conseguir batidos

AfinacionBatidos03Se algunha vez escoitástedes un acordeón, o seu son amosa uns batimentos (subidas e baixadas de volume nos sonidos que produce), sobre todo en rexistros nos que xogan mais dunha lengüeta.
 
O acordeón é un instrumento musical, de vento, pero que se denomina de lengüeta libre, como a armónica. Consta de varios xogos de lenguetas que, en distintas combinacións, constitúen o xogo de rexistros do acordeón. A cantos mais xogos, mais rexistros ten o acordeón.
 
Pero hai un xogo que nunca soa el solo.

Outra historia de tubos

MarimbaC2G3Esta é outra marimba, a segunda, esta vez vai de C2 a G3 con A4 en 440, o que ven a ser que a lámina mais baixa ten una frecuencia fundamental de 65.4Hz do C2 ata os 196Hz do G3, de Do a Sol, unha octava e media para entendernos. O primeiro que chama a atención son os tubos, logo imos a iso, e arriba 12 láminas nunha soa fila, o que quere decir que non hai alteracións na escala (non hai bemoles, e non vale sacar a cousa de contexto), ven sendo o que os músicos chaman un instrumento diatónico, neste caso en Do Maior.

Por qué non ten duas filas?, Porque sairía demasiado grande e incómoda á hora de tocala, a lámina mais baixa mide mais de 500mm de longo e 100mm de ancho, incluso é un pouco alta, 1.3m. A razón de facer unha marimba con notas tan baixas foi certa fascinación polas notas baixas da anterior, e quixen ir unha octava mais abaixo, para que servise de instrumento de acompañamento... para dar os baixos.

Tubos por doquier

ResonadoresC3C6E para qué tanto tubo?

Pois esta foi a primeira marimba que me deu por construir, despois de experimentar con unhas cantas táboas de madeiras templadas (pino tea), a cousa non foi tan simple como parecía nun principio. Non se trataba de afinar só unha nota, a que lle da nome a cada lámina, senón tamén outras frecuencias que andaban por alí arriba.

Resulta que con unha lámina, ou calquer porción de material prismático (p.ex. un tubo), os modos de oscilación producen sobretonos (frecuencias por encima da mais baixa) que non son armónicos (non son múltiplos da primeira), e hai que andar cambiando a forma para conseguir que os sobretonos se convirtan an armónicos. Total, que hai que darlle forma ás láminas ata conseguir que esas frecuencias sexan múltiplos da nota fundamental, e ahí empeza o lío... múltiplos si, ¿pero cales?. A resposta a esa pregunta marca a diferencia entre xilófonos e marimbas, anque a resposta non é única: as marimbas gardan as proporcións 1:3:6 e os xilófonos 1:4:8, anque moitos autores indican xusto o contrario. O caso é que os xilófonos case sempre "atacan por arriba", con notas por encima de C4, e as marimbas arrancan moito mais abaixo, C2 e incluso A1, e onde mais se lucen.

Marcha pola Unidade

Esta foi a primeira canción que aprendín a tocar nas láminas. Non se trataba só de aprender uns compases, que si, senon que tamén que fose algo que tivese certo significado, unha historia.

E nada mellor que a combinación de Mikel Laboa e Bertolt Brecht, un cantautor que axudou a moitos vascos souberan que son vascos, homes de ben, e que tiveran fachenda de selo, cantando as letras dun home cheo de humanidade.

Unha pequena homenaxe ao pobo vasco que, cando aprendin esto, perdera a tres grandes homes en moi pouco tempo: Mikel Laboa, Chillida e Jorge Oteiza

Pequenos miragres de afinación

G3S01Seguimos co espectrograma de Fourier. Que un espectrograma saia como o da esquerda é un pequeno miragre, vexamos:

Por un golpe de gracia, o son que se analizou contén nada menos que CINCO frecuencias claras... non está mal para ser un cacho de madeira: as frecuencias son: 286.50Hz, 861.29Hz, 1722.33Hz, 3186.97Hz e 4843.73Hz.

Se dividimos a segunda, terceira, cuarta e quinta pola primeira obtemos 3.006, 6.011, 11.123 e 16.905.... as tres primeiras responden, case, á relación 1:3:6, a cuarta e a quinta, o que escrebe, ainda non atopou maneira de controlalas, pero a relación das tres primeiras era o que se andaba buscando. O lector preguntaráse qué raio era o que se estaba buscando.

Gracias a Fourier

Diagrama de Fourier do son dunha lámina de marimbaAlguén imaxina que é isto?.

Como xa se pode adiviñar polo título, os que oiron falar del dirán que tal parece un diagrama de Fourier, e acertaron.

Este en concreto correspóndese co son que emite unha lámina de marimba en pleno proceso de afinación, e está cerca do seu obxectivo, que non é outro quedar a nota que lle toca... e que teña un timbre agradable. E cómo se consegue esto? pois coa axuda de Fourier.

 

Gracias a Pitágoras

PitagorasConCordasA este home, hai unha chea de anos, como 2500, deulle por facer experimentos coas cousas, motivo polo que era despreciado porque eso de experimentar o consideraban unha debilidade (tiña que facer cousas coas mans porque non lle daba a cabeza!!). Como parece que lle gustaba a música, e prefería que houbera máis dun músico, preocupouse por averiguar qué sons quedaban "ben" cando se oían xuntos.

Así que se puxo a facer experimentos cun instrumento de corda, dunha soa corda, o monocordio, e chegou á conclusión de que os sons que quedaban ben xuntos eran aqueles que se producían con relacións de lonxitude de corda de números enteiros, canto máis baixos mellor. (1,2,3,4).

Este experimento, e sobre todo esa conclusión, marcou TODA a música occidental ate hoxe, incluída a escala musical coñecida como Pitagórica.

O da Consonancia e a Disonancia non son outra cousa que "sonidos que quedan ben xuntos"... ou non, e ten que ver cos armónicos.

O tempo e o son, en combinación co silencio, é a materia prima da música

Na música, os sons clasifícanse en categorías tales como: longas e curtas, fortes e débiles, agudas e graves, agradables e desagradables. O son sempre estivo presente na vida cotiá do home. Ao longo da historia o ser humano inventou unha serie de regras para ordenalo para construír algún tipo de linguaxe musical.

Unha nota musical non é máis que un son caracterizado por unha certa frecuencia e constancia. Cada nota é, basicamente, unha vibración que ten unha frecuencia particular. De feito, as notas musicais non son máis que a representación desa frecuencia.

Unha escala musical é un conxunto de notas. Debido á percepción igual ou similar dunha frecuencia dobre a unha dada as notas correspondentes ás frecuencias dobres reciben a mesma denominación, deste xeito repítese unha escala a través de frecuencias dobres da nota inicial. Isto ocorre non só na representación da música occidental, senón tamén na maioría das culturas.

A mesma nota soa diferente se se toca cunha flauta, un violín, unha trompeta, etc. Cada instrumento ten un timbre que o identifica ou o diferencia dos demais. Unha forma de identificar físicamente o timbre dun instrumento é realizar a descomposición da onda sonora nos seus compoñentes sinusoidais fundamentais mediante a aplicación da Transformada de Fourier.

A diferenza entre as notas producidas por diferentes instrumentos é, ademais da frecuencia fundamental que define a nota, o conxunto de frecuencias adicionais (xeralmente máis elevadas) que acompañan á base ou o son de frecuencia fundamental.

 

AfinacionBatidos03Se algunha vez escoitástedes un acordeón, o seu son amosa uns batimentos (subidas e baixadas de volume nos sonidos que produce), sobre todo en rexistros nos que xogan mais dunha lengüeta.
 
O acordeón é un instrumento musical, de vento, pero que se denomina de lengüeta libre, como a armónica. Consta de varios xogos de lenguetas que, en distintas combinacións, constitúen o xogo de rexistros do acordeón. A cantos mais xogos, mais rexistros ten o acordeón.
 
Pero hai un xogo que nunca soa el solo.
 
Os acordeons mais sinxelos son os de dous xogos, e só teñen duas voces, a voz sinxela e a de dúas combinadas... a pesares de que as combinacións totais son tres: cada unha das voces por separado e as duas xuntas.(1, 2, 1-2)
Os seguintes, os de tres xogos, teñen cinco voces, a pesares de que as combinacións son 7 (1, 2, 3, 1-2, 1-3, 2-3, 1-2-3).
Os de catro xogos, ata trece, eso que hai mais combinacions, ata 15 (1, 2, 3, 4, 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4, 1-2-3, 1-2-4. 1-3-4, 2-3-4. 1-2-3-4).
 
¿Por qué hai unha ou duas voces, xogos de lengüetas, que non veñen preparadas no acordeón para que soen elas solas?
 
Porque están desafinadas para "pelexar" con outra das voces, esa que sí que soa sola, e producir eses batimentos sobre as súas notas.
A desafinación que produce eses batimentos da por resultado unha escala musical anómala en termos das notas que produce, porque a desafinación non é a mesma en cada unha das notas en termos do axuste que se coñece normalmente, o que se fai con un afinador.
 
¿Cómo se conseguen eses batimentos?
Os batimentos sobre unha nota determinada, asociada a unha frecuencia base, conséguense facendo que soe outra nota "parecida", cuxa diferencia en frecuencia é a frecuencia dos batimentos.
 
Exemplos:
Se queremos 4 batimentos por segundo, que veñen sendo 4Hz, sobre unha nota La4, que serían 440Hz, teríamos que producir outra nota que sonase a 440+4=444Hz. (ou 440-4=436Hz)
Se queremos os mesmos 4 batimentos por segundo sobre outra nota calquera, por exemlo un Do3, que son 130.8Hz, teríamos que producir outra nota con frecuencia 4Hz superior ou inferior 130.8+4=134.8Hz ou 130.8-4=126.4Hz.
 
Se queres experimentar coa xeneración de batimentos, na seguinte ligazón pódense facer experimentos:
 
A forma de velo, usando unha folla de cálculo e un pouquerrechiño de matemática de ondas, consiste en facer unha serie temporal de cada unha das ondas... e facer a suma. Observaremos que cada unha das ondas produce, en termos de amplitude, unha onda de amplitude constante, pero que sumadas dan como efecto os cambios de amplitude, os batimentos.
 
Por si alguén quere evitar iso de andar coas follas de cálculo, aquí van algúns resultados. O primeiro, segundo e terceiro exemplo saen combinando ondas de amplitudes iguais, mentras que o cuarto é con amplitudes diferentes, o resultado é que nos tres primeiros o batimento chega a amplitude cero, mentras que no último o batimento non chega a "amplitude cero", porque quen vai "á contra" non ten "forza" abondo.
AfinacionBatidos02
AfinacionBatidos03
AfinacionBatidos04
AfinacionBatidos05
 
Vemos que as frecuencias son distintas, e agregándolle unha frecuencia constante de 4Hz a cada unha das frecuencias base os batimentos que se producen son sempre os mesmos. 
 
Andar sumando ou restando frecuencia ás notas con independencia da octava da nota ten como consecuencia unha desafinación desigual, se usamos un afinador, neste caso, desafinador tradicional, como se pode ver na seguinte táboa:
Frec Base Base+4 Base-4 Base Base+4 Base-4 Cents(f+4) Cents(f-4)
880 884 876 A5 0c A5 08c A5 -08c 7,9 -7,9
440 444 436 A4 0c A4 016c A4 -016c 15,7 -15,8
220 224 216 A3 0c A3 031c A3 -032c 31,2 -31,8
110 114 106 A2 0c A#2 -038c G#2 036c 61,8 -64,1
73,7 77,7 69,7 D2 07c D#2 -02c C#2 010c 91,5 -96,6

Visto en términos de cents, se as notas son baixas, hai que desafinar moito máis.
 
Un afinador non é o mais apropiado, precísase un medidor de frecuencia absoluta (que detecte os 4 hercios) se se quere afinar aparte, ou ter as dúas lenguetas e un micro con visualización temporal do sonido (un osciloscopio vai mellor). En termos de afinación tradicional, o que hai que desafinar cada nota para producir catro batimentos por segundo é o seguinte:
AfinacionBatidos01
¿Por qué pasa todo esto?
 
No mundo, o tempo (de repetición) e a frecuencia son dúas versións da mesma cousa. A diferencia somos nós.
 
Lembrando as primeiras películas de cine, mudo, parecía que as imaxes iban a saltos... iban a 15 ou 17 imaxes por segundo (15Hz, 17Hz), despois cambiaron a 24 imaxes por segundo e o efecto desapareceu. Os humáns funcionamos, aproximadamente, a 20Hz: se as cousas pasan a menos de 20Hz percibimos o tempo, pero se pasan a mais e son repetitivas o que percibimos é a frecuencia. Os 20Hz veñen sendo, en tempo, 50milisegundos.
 
Ademais, temos un mecanismo diferente para a percepción do tempo ou da frecuencia do son. Co tempo somos lineais.... e coa frecuencia logarítmicos. Consciente o redactor do pavor que provoca en moitos lectores o uso do termo "logaritmo", que saiba o lector que a maioría das percepcións humáns son logarítmicas: luz, ruído (os famosos decibelios) e, por suposto, a frecuencia do sonido.
 
A octava que vai de A3 a A4 ten un rango de 440-220=220Hz, a seguinte, de A4 a A5 ten 880-440=440Hz, que é máis que o rango de tódalas octavas anteriores sumadas. Parécenos que a variación de notas de A3 a A4 é o mesmo que de A4 a A5, sen embargo é o dobre... porque neso, somos logarítmicos.
 
Co son en locais onde o son rebota nas paredes pásanos o mesmo, se o local é grande percibimos un eco, o tempo, se o local é mediano percibimos unha reberveración (un batimento)... pero si é pequeno case que non nos enteramos e a cousa xa soa ben e como moito temos algún acople.
 
Os tamaños dos locais para estas cousas volven a sair da frecuencia do tema, combinado coa velocidade do sonido (343m/s). Un eco, aprox 0.10segundos, ou 10Hz, o teremos en locais de 34 metros en diante. Unha reverberación (a fronteira co eco é variable), será ata frecuencias de 20Hz, esa frecuencia á que funcionamos os humans, e será en locais de 17 a 34metros. En locais de menos de 17 metros seguiremos apreciando reverberacións, pero nos locais inferiores a 8m xa será bastante difícil e estaríamos apreciando "acoples", tamén de definición bastante subxetiva.
 
As fronteiras son difusas, pero deixaremos de percibir un batimento para pasar a un intervalo (de duas notas) de mellor ou peor disonancia, cando a diferencia sexa maior dos devanditos 20Hz.
 
E outra curiosidade: Se fixeramos o análisis de frecuencias dun sonido con batementos non veríamos mais que as frecuencias das notas, e non a dos batimentos. A explicación está en que facemos o que se chama "demodulación de amplitude", un mecanismo moi similar ao que fan os aparatos de radio que reciben na onda media (AM->Amplitude Modulada)
 
Todo isto veu a que alguén comentoume que iso da afinación dos batimentos nos acordeóns éche unha cousa moi especial e misteriosa.
Esto foi o que a este humilde redactor lle pareceu o asunto, pouco amigo dos misterios.

AfinacionLaminasImaxe21

Unha lámina uniforme libre, por exemplo unha táboa, ten modos de vibración que producen un son característico que pode ser descrito como disonante. Para a construción dun instrumento musical baseado en láminas, que produza sons correspondentes ás notas musicais dunha escala (ben diatónica ou cromática), basta escoller as láminas das lonxitudes axeitadas. Non obstante, os sons obtidos non teñen a calidade musical suficiente precisamente por mor da existencia de sobretons disonantes.

As referencias de instrumentos cos mesmos principios que o xilófono e a marimba datan do século XIV, feitos con láminas de madeira ou de metal cun rebaixe na súa parte central en forma de arco, esto facía que o son producido fose diferente, considerado como máis agradable que o dunha simple táboa ou barra sen ese rebaixe. Esta alteración consistiu nun método de afinación ademais do cambio na lonxitude das láminas, que non só alteraba a nota fundamental senón tamén as frecuencias dos sons adicionais, deixando a cuestión da calidade do son á percepción do artesán, sen que se tivera consciencia da existencia de harmónicos e da necesidade da súa afinación.

AfinacionLaminasImaxe29Non foi ata a década de 1920 en que os fabricantes comezaron a refinar non só a nota fundamental, senón tamén o primeiro tono superior. En 1926, a JC Deagan Company axustou o primeiro sobreton das láminas das suas marimbas e vibrafonos dúas oitavas por enriba da fundamental (factor 4) e os seus xilófonos unha oitava e unha quinta (factor de 3). Esta técnica chamouse afinación dobre (axustando dúas frecuencias). Con posterioridade producíronse instrumentos de láminas con afinación triple, a fundamental e dous máis, en diferentes combinacións (1-4-8, 1-3-6). Coas diferentes afinacións obtéñense instrumentos similares pero con diferentes timbres. Agora xa se producen instrumentos con afinacións múltiples múltiples e algúns fabricantes permiten ao usuario elixir a relación de frecuencias (por exemplo, 1-3-6-10). En 1995 Bork identificou ata 25 xeitos de oscilar unha lámina e a súa influencia sobre o son final producido.

Oscilador simple formado por un muelle y una masaCada modo de oscilación compórtase como un sinxelo oscilador mecánico formado por un resorte e unha masa. Canto maior sexa o compoñente elástico, maior será a frecuencia de oscilación, e canto maior sexa a masa menor será a frecuencia da vibración.

A lei que rexe o seu comportamento é:

F = m*a = -k*y

(m = masa, a = aceleración, k = constante de resorte, y = desplazamento con respecto á posición de equilibrio).

Se a masa se move con respecto á posición de equilibrio e se libera, comezará a oscilar a unha frecuencia, cuxo cálculo é irrelevante, e que resulta ser f = raíz (k / m) / 2π. Esta oscilación manterase por un tempo, grazas á enerxía que se proporcionou movendo a masa da súa posición, que se perderá por fricción ata que finalmente volva á súa posición de equilibrio.

Si se desplaza la masa respecto de la posición de equilibrio y se suelta, empezará a oscilar a una frecuencia cuyo cálculo no viene al caso y que es f = raiz(k/m)/2π. Esa oscilación se mantendrá durante un tiempo, gracias a la energía que se aportó al desplazar la masa de su posición, que se irá perdiendo por el rozamiento hasta que finalmente vuelva a su posición de equilibrio.

Ao modificar o perfil da lámina nun determinado punto, elimínase masa, o que ten dúas consecuencias:

  • Disminución da constante elástica desa zona da lámina,

  • Disminución de la masa.

Se se realiza preto dun ANTINODO para un determinado modo de vibración, a frecuencia de oscilación dese modo diminuirá.

Se se realiza preto dun NODE para un modo de vibración particular, a frecuencia de oscilación para ese modo permanece case inalterada.

Se se fai preto dos extremos da barra, o efecto é só unha diminución en masa para TODOS os modos de vibración, xunto cun efecto de lonxitude menor, polo que a frecuencia de oscilación de todos os modos aumentará, se ben os primeiros modos, correspondentes a frecuencias máis baixas, experimentarán un aumento maior que o resto (debido á súa maior inercia, estando máis lonxe do nodo do extremo).

Zonas de rebaixe e modos afectados

 AfinacionLaminasImaxe06

Zona de rebaixe

Zona 1

Zona 2

Zona 3

Modos Afectados

Transversal 1 e 3

Transversal 2 e 1

Transversal 3 e 1

 AfinacionLaminasImaxe05Modos de oscilación transversais, posicións de nodos e antinodos

O cambio de perfil prismático, ao facer un rebaixe na parte central da lámina, produce un desprazamento cara aos extremos dos nodos e antinodos non centrais, polo que unha técnica é que as áreas para actuar están establecidas en función da estimación final da súa posición na lámina.

AfinacionLaminasImaxe33

Identificación de zonas de nodos (vermello) e antinodos (verde) para os tres primeiros modos de oscilación transversal e zonas de talla (azul) para proceder á afinación da lámina prismática.

Todo isto sería bastante sistemático ... se non fose que a medida que a lámina perde a súa condición prismática uniforme, por efecto dos rebaixes, e modifícase a posición dos nodos e antinodos non centrais.

AfinacionLaminasImaxe22Nunha corda homoxénea presa por ambos extremos e baixo tensión, un caso típico de instrumentos de corda musical, os modos de vibración son tales que a amplitude da oscilación nos extremos debe ser necesariamente cero. Dado que a propagación de cada onda é igual en todas as frecuencias, os diferentes modos de vibración producen frecuencias múltiples da fundamental (1,2,3,4 ...), tendo a peculiaridade de que cada oscilación pode descompoñerse en dúas ondas viaxando en direccións opostas, producindo o que se coñece como unha onda estacionaria. É por iso que os instrumentos de corda producen sons con sobretonos armónicos e, polo tanto, non disonantes.

Un instrumento de vento pode ser asimilado a un tubo aberto nun extremo e pechado polo outro ou a un tubo aberto nos dous extremos. No caso dun tubo pechado nun extremo, as ondas estacionarias son múltiplos enteiros impares da frecuencia fundamental, mentres que nun tubo aberto son múltiplos enteiros (pares e impares).

AfinacionLaminasImaxe19  AfinacionLaminasImaxe19 
Sen imaxes
Sen imaxes