Desafinar para conseguir batidos

AfinacionBatidos03Se algunha vez escoitástedes un acordeón, o seu son amosa uns batimentos (subidas e baixadas de volume nos sonidos que produce), sobre todo en rexistros nos que xogan mais dunha lengüeta.
 
O acordeón é un instrumento musical, de vento, pero que se denomina de lengüeta libre, como a armónica. Consta de varios xogos de lenguetas que, en distintas combinacións, constitúen o xogo de rexistros do acordeón. A cantos mais xogos, mais rexistros ten o acordeón.
 
Pero hai un xogo que nunca soa el solo.

Outra historia de tubos

MarimbaC2G3Esta é outra marimba, a segunda, esta vez vai de C2 a G3 con A4 en 440, o que ven a ser que a lámina mais baixa ten una frecuencia fundamental de 65.4Hz do C2 ata os 196Hz do G3, de Do a Sol, unha octava e media para entendernos. O primeiro que chama a atención son os tubos, logo imos a iso, e arriba 12 láminas nunha soa fila, o que quere decir que non hai alteracións na escala (non hai bemoles, e non vale sacar a cousa de contexto), ven sendo o que os músicos chaman un instrumento diatónico, neste caso en Do Maior.

Por qué non ten duas filas?, Porque sairía demasiado grande e incómoda á hora de tocala, a lámina mais baixa mide mais de 500mm de longo e 100mm de ancho, incluso é un pouco alta, 1.3m. A razón de facer unha marimba con notas tan baixas foi certa fascinación polas notas baixas da anterior, e quixen ir unha octava mais abaixo, para que servise de instrumento de acompañamento... para dar os baixos.

Tubos por doquier

ResonadoresC3C6E para qué tanto tubo?

Pois esta foi a primeira marimba que me deu por construir, despois de experimentar con unhas cantas táboas de madeiras templadas (pino tea), a cousa non foi tan simple como parecía nun principio. Non se trataba de afinar só unha nota, a que lle da nome a cada lámina, senón tamén outras frecuencias que andaban por alí arriba.

Resulta que con unha lámina, ou calquer porción de material prismático (p.ex. un tubo), os modos de oscilación producen sobretonos (frecuencias por encima da mais baixa) que non son armónicos (non son múltiplos da primeira), e hai que andar cambiando a forma para conseguir que os sobretonos se convirtan an armónicos. Total, que hai que darlle forma ás láminas ata conseguir que esas frecuencias sexan múltiplos da nota fundamental, e ahí empeza o lío... múltiplos si, ¿pero cales?. A resposta a esa pregunta marca a diferencia entre xilófonos e marimbas, anque a resposta non é única: as marimbas gardan as proporcións 1:3:6 e os xilófonos 1:4:8, anque moitos autores indican xusto o contrario. O caso é que os xilófonos case sempre "atacan por arriba", con notas por encima de C4, e as marimbas arrancan moito mais abaixo, C2 e incluso A1, e onde mais se lucen.

Marcha pola Unidade

Esta foi a primeira canción que aprendín a tocar nas láminas. Non se trataba só de aprender uns compases, que si, senon que tamén que fose algo que tivese certo significado, unha historia.

E nada mellor que a combinación de Mikel Laboa e Bertolt Brecht, un cantautor que axudou a moitos vascos souberan que son vascos, homes de ben, e que tiveran fachenda de selo, cantando as letras dun home cheo de humanidade.

Unha pequena homenaxe ao pobo vasco que, cando aprendin esto, perdera a tres grandes homes en moi pouco tempo: Mikel Laboa, Chillida e Jorge Oteiza

Pequenos miragres de afinación

G3S01Seguimos co espectrograma de Fourier. Que un espectrograma saia como o da esquerda é un pequeno miragre, vexamos:

Por un golpe de gracia, o son que se analizou contén nada menos que CINCO frecuencias claras... non está mal para ser un cacho de madeira: as frecuencias son: 286.50Hz, 861.29Hz, 1722.33Hz, 3186.97Hz e 4843.73Hz.

Se dividimos a segunda, terceira, cuarta e quinta pola primeira obtemos 3.006, 6.011, 11.123 e 16.905.... as tres primeiras responden, case, á relación 1:3:6, a cuarta e a quinta, o que escrebe, ainda non atopou maneira de controlalas, pero a relación das tres primeiras era o que se andaba buscando. O lector preguntaráse qué raio era o que se estaba buscando.

Gracias a Fourier

Diagrama de Fourier do son dunha lámina de marimbaAlguén imaxina que é isto?.

Como xa se pode adiviñar polo título, os que oiron falar del dirán que tal parece un diagrama de Fourier, e acertaron.

Este en concreto correspóndese co son que emite unha lámina de marimba en pleno proceso de afinación, e está cerca do seu obxectivo, que non é outro quedar a nota que lle toca... e que teña un timbre agradable. E cómo se consegue esto? pois coa axuda de Fourier.

 

Gracias a Pitágoras

PitagorasConCordasA este home, hai unha chea de anos, como 2500, deulle por facer experimentos coas cousas, motivo polo que era despreciado porque eso de experimentar o consideraban unha debilidade (tiña que facer cousas coas mans porque non lle daba a cabeza!!). Como parece que lle gustaba a música, e prefería que houbera máis dun músico, preocupouse por averiguar qué sons quedaban "ben" cando se oían xuntos.

Así que se puxo a facer experimentos cun instrumento de corda, dunha soa corda, o monocordio, e chegou á conclusión de que os sons que quedaban ben xuntos eran aqueles que se producían con relacións de lonxitude de corda de números enteiros, canto máis baixos mellor. (1,2,3,4).

Este experimento, e sobre todo esa conclusión, marcou TODA a música occidental ate hoxe, incluída a escala musical coñecida como Pitagórica.

O da Consonancia e a Disonancia non son outra cousa que "sonidos que quedan ben xuntos"... ou non, e ten que ver cos armónicos.

A construción dun xilófono ou unha marimba debe ser un proxecto global, cun conxunto de láminas deseñadas proporcionalmente entre si de lonxitude e ancho. O ancho proporcionará máis volume á nota e debe ter en conta os diagramas da percepción humana en función da frecuencia para o cálculo, que está máis aló deste traballo.

Ao final todos eles deben estar conectados nun conxunto que permite a execución dunha composición musical.

Unha das formas de fixación das láminas é mediante unha corda que atravesa todas elas para que, con algúns soportes intermedios, estean suspendidos da corda que os atravesa. Non é o único método de restrición, pero é o que se usa nos instrumentos de maior calidade.

 

AfinacionLaminasImaxe08 AfinacionLaminasImaxe09 AfinacionLaminasImaxe10

A suxeición óptima sería a través dos nodos do modo da nota fundamental, e aínda que isto non sempre é posible porque é un elemento natural (madeira) e as lonxitudes das láminas van diminuíndo a medida que a nota sobe, o que nos proporciona unha fixación en forma de trapezoide, cómpre atopar cal é a posición do nodo da frecuencia característica da nota de cada lámina para facer o montaxe e taladroso máis próximo posible aos nodos da fundamental.

Para atopar experimentalmente a posición dos nodos da nota fundamental pódese usar o método de sal, que consiste en colocar a l´çamina nunha posición de quasi oscilación libre, apoiándoa horizontalmente sobre escuma moi suave na posición aproximada dos nodos, despois espolvoreASEe a sal fina na superficie superior e, a continuación, golpéase a lámina no centro cunha baqueta suave no centro. O modo predominante será o fundamental e os grans de sal tenderán a concentrarse nas posicións da lámina que non teñen vibración: os nodos.

 

Oscilador simple formado por un muelle y una masaCada modo de oscilación compórtase como un sinxelo oscilador mecánico formado por un resorte e unha masa. Canto maior sexa o compoñente elástico, maior será a frecuencia de oscilación, e canto maior sexa a masa menor será a frecuencia da vibración.

A lei que rexe o seu comportamento é:

F = m*a = -k*y

(m = masa, a = aceleración, k = constante de resorte, y = desplazamento con respecto á posición de equilibrio).

Se a masa se move con respecto á posición de equilibrio e se libera, comezará a oscilar a unha frecuencia, cuxo cálculo é irrelevante, e que resulta ser f = raíz (k / m) / 2π. Esta oscilación manterase por un tempo, grazas á enerxía que se proporcionou movendo a masa da súa posición, que se perderá por fricción ata que finalmente volva á súa posición de equilibrio.

Si se desplaza la masa respecto de la posición de equilibrio y se suelta, empezará a oscilar a una frecuencia cuyo cálculo no viene al caso y que es f = raiz(k/m)/2π. Esa oscilación se mantendrá durante un tiempo, gracias a la energía que se aportó al desplazar la masa de su posición, que se irá perdiendo por el rozamiento hasta que finalmente vuelva a su posición de equilibrio.

Ao modificar o perfil da lámina nun determinado punto, elimínase masa, o que ten dúas consecuencias:

  • Disminución da constante elástica desa zona da lámina,

  • Disminución de la masa.

Se se realiza preto dun ANTINODO para un determinado modo de vibración, a frecuencia de oscilación dese modo diminuirá.

Se se realiza preto dun NODE para un modo de vibración particular, a frecuencia de oscilación para ese modo permanece case inalterada.

Se se fai preto dos extremos da barra, o efecto é só unha diminución en masa para TODOS os modos de vibración, xunto cun efecto de lonxitude menor, polo que a frecuencia de oscilación de todos os modos aumentará, se ben os primeiros modos, correspondentes a frecuencias máis baixas, experimentarán un aumento maior que o resto (debido á súa maior inercia, estando máis lonxe do nodo do extremo).

Zonas de rebaixe e modos afectados

 AfinacionLaminasImaxe06

Zona de rebaixe

Zona 1

Zona 2

Zona 3

Modos Afectados

Transversal 1 e 3

Transversal 2 e 1

Transversal 3 e 1

 AfinacionLaminasImaxe05Modos de oscilación transversais, posicións de nodos e antinodos

O cambio de perfil prismático, ao facer un rebaixe na parte central da lámina, produce un desprazamento cara aos extremos dos nodos e antinodos non centrais, polo que unha técnica é que as áreas para actuar están establecidas en función da estimación final da súa posición na lámina.

AfinacionLaminasImaxe33

Identificación de zonas de nodos (vermello) e antinodos (verde) para os tres primeiros modos de oscilación transversal e zonas de talla (azul) para proceder á afinación da lámina prismática.

Todo isto sería bastante sistemático ... se non fose que a medida que a lámina perde a súa condición prismática uniforme, por efecto dos rebaixes, e modifícase a posición dos nodos e antinodos non centrais.

Frecuencia fundamental : o que define unha nota, por exemplo LA4 = 440Hz.

Sobretono : compoñente dun son cuxa frecuencia é superior á frecuencia fundamental.

Harmónico : compoñente dun son cuxa frecuencia é un múltiplo da frecuencia fundamental.

Deste xeito verifícase que todos os harmónicos son sobretonos, xa que teñen un maior valor de frecuencia que o fundamental, pero non todos os sobretonos son harmónicos , xa que non sempre son múltiplos enteiros do fundamental.

IMG 20180211 110742

Unha vez que coñecidos todos os fundamentos e mecanismos para a afinacción da frecuencia fundamental e os sobretons dunha lámina, pódese establecer un método iterativo ata que a lámina produza a nota desexada e as adcionais.

Os pasos deben realizarse cunha política moi conservadora, xa que a eliminación de material na zona central só fai baixar as frecuencias, de xeito que, se as frecuencias da folla son máis baixas do desexado, a única solución é eliminar material do remate ou acurtala, que afectará a calidade do son e pode alterar a posición dos nodos da nota fundamental.

Estableceuse o seguinte método para axustar unha lámina de marimba con relación 1-3-6 entre o modo fundamental e os dous primeiros harmónicos.

PASO 1 : Medir as frecuencias de oscilación dos tres primeiros tons da lámina. Obter os cents de distancia entre a situación actual ea desexada.

PASO 2 : Se a lámina está a menosr a 300 cents en cada un dos primeiros tres tons: vernizar, busque o nodo 1 e realice a perforación (se aínda non se fixo).

PASO 3 : Se a distancia do ton 1 ao obxectivo é maior que a dos tons 2 e 3, diminuír o espesor da zona 1.

PASO 4 : Se a distancia do ton 2 ao obxectivo é maior que a dos tons 1 e 3, diminuír o espesor da zona 2 e a zona 3.

PASO 5 : Se a distancia do ton 3 ao obxectivo é maior que a dos tons 1 e 2, diminuír o espesor da zona 3.

PASO 6 : Se a distancia dos tres tons ao destino é aproximadamente o mesmo, diminuír o espesor da zona 1.

PASO 7 : Se a distancia dos tres tons é inferior a 100 cents, cambiar ao modo fino manual para comprobar os tons con máis frecuencia, se non, repetir o paso 1

PASO 8 : Se a distancia de tres tons é menos que 30 cents, pasar modo manual moi fino para acadar o obxectivo de repetición das etapas 1 a 6, pero deixando repousar a lámina entre cada operación

PASO 9 : Se a distancia é inferior a 10 cents, reiniciar ao día seguinte nun modo moi fino (lixado)

ResonadoresC3C6E para qué tanto tubo?

Pois esta foi a primeira marimba que me deu por construir, despois de experimentar con unhas cantas táboas de madeiras templadas (pino tea), a cousa non foi tan simple como parecía nun principio. Non se trataba de afinar só unha nota, a que lle da nome a cada lámina, senón tamén outras frecuencias que andaban por alí arriba.

Resulta que con unha lámina, ou calquer porción de material prismático (p.ex. un tubo), os modos de oscilación producen sobretonos (frecuencias por encima da mais baixa) que non son armónicos (non son múltiplos da primeira), e hai que andar cambiando a forma para conseguir que os sobretonos se convirtan an armónicos. Total, que hai que darlle forma ás láminas ata conseguir que esas frecuencias sexan múltiplos da nota fundamental, e ahí empeza o lío... múltiplos si, ¿pero cales?. A resposta a esa pregunta marca a diferencia entre xilófonos e marimbas, anque a resposta non é única: as marimbas gardan as proporcións 1:3:6 e os xilófonos 1:4:8, anque moitos autores indican xusto o contrario. O caso é que os xilófonos case sempre "atacan por arriba", con notas por encima de C4, e as marimbas arrancan moito mais abaixo, C2 e incluso A1, e onde mais se lucen.

LaminasMarimbaC3C5

A marimba en cuestión arranca en C3 e remata en C6, duas modestas octavas, con afinación 1:3:6. Pero dase o caso que a nota C3 empeza a ser baixa de máis para os nosos oídos (65,4Hz co La440), está nunha zona do audioespectro onde xa empezamos a estar un pouco xordos (ata que a cousa chega a 20Hz, onde estamos xordos case de todo). Polo tanto precisa un resonador para que "amplifique" un pouco o asunto. Se o resonador amplifica esa frecuencia base... ¿quén amplifica os sobretonos e/ou armónicos que lle dan o timbre?

Neste caso o resonador, un tubo pechado, amplifica a frecuencia para a que foi pensado e os múltiplos impares (3,5,7...), co que non habería problema e o primeiro armónico, ese que é a frecuencia fundamental (C3) multiplicada por 3, que ven sendo G4, estaría amplificada.... pero só falla nun detalle: a oscilación da lámina produce o C3 no centro, e a G4 en duas zonas próximas, pero no centro nada de nada. Así que decidin poñer ises tubos adicionais, e denominalos "resonadores de armónicos". E a cousa mellorou, dalle ao instrumento un timbre lixeiramente mais potente e brilante (anque esto sexa mais difícil de definir matemáticamente). 

A cousa funcionou ben, e moitos dos que o viron insistiron en que o patentara. Como a idea é tan sinxela, e tan fácil de copiar, tería que patentalo nos países onde se fan marimbas (Xapón, Holanda, EEUU, Alemania), ademais de en España, un pastizal. Así que a idea era patentala só en España e logo non pagar os dereitos para que a invención quedase libre e non se convertese nun impedimento só para os inventores españois, pero ao cabo do tempo chegou a solución.

Anque comercialmente non hai constancia de que se fagan marimbas con resonadores de armónicos, istes xa estaban previstos na patente do mestre Deagan de 1919 (nada menos!), que foi quen defineu a afinación múltiple e facilitou que a percusión cromática orquestal pasase a outro nivel (que os xilófonos entrasen nos conxuntos e música clásica, vaia). Todo un alivio, gracias Mr. Deagan.

Tomo as imaxes da páxina de Jeffrey La Favre para ilustrar os tres primeiros modos transversais de vibración dunha lámina, que son os que producen o miragre desas tres notas (a fundamental e os dous primeiros sobretonos)

first transverse diagram   first transverse composite
 second transverse diagram second trransverse composit 
third transverse diagram   third transverse composite

 

Sen imaxes
Sen imaxes