Desafinar para conseguir batidos

AfinacionBatidos03Se algunha vez escoitástedes un acordeón, o seu son amosa uns batimentos (subidas e baixadas de volume nos sonidos que produce), sobre todo en rexistros nos que xogan mais dunha lengüeta.
 
O acordeón é un instrumento musical, de vento, pero que se denomina de lengüeta libre, como a armónica. Consta de varios xogos de lenguetas que, en distintas combinacións, constitúen o xogo de rexistros do acordeón. A cantos mais xogos, mais rexistros ten o acordeón.
 
Pero hai un xogo que nunca soa el solo.

Outra historia de tubos

MarimbaC2G3Esta é outra marimba, a segunda, esta vez vai de C2 a G3 con A4 en 440, o que ven a ser que a lámina mais baixa ten una frecuencia fundamental de 65.4Hz do C2 ata os 196Hz do G3, de Do a Sol, unha octava e media para entendernos. O primeiro que chama a atención son os tubos, logo imos a iso, e arriba 12 láminas nunha soa fila, o que quere decir que non hai alteracións na escala (non hai bemoles, e non vale sacar a cousa de contexto), ven sendo o que os músicos chaman un instrumento diatónico, neste caso en Do Maior.

Por qué non ten duas filas?, Porque sairía demasiado grande e incómoda á hora de tocala, a lámina mais baixa mide mais de 500mm de longo e 100mm de ancho, incluso é un pouco alta, 1.3m. A razón de facer unha marimba con notas tan baixas foi certa fascinación polas notas baixas da anterior, e quixen ir unha octava mais abaixo, para que servise de instrumento de acompañamento... para dar os baixos.

Tubos por doquier

ResonadoresC3C6E para qué tanto tubo?

Pois esta foi a primeira marimba que me deu por construir, despois de experimentar con unhas cantas táboas de madeiras templadas (pino tea), a cousa non foi tan simple como parecía nun principio. Non se trataba de afinar só unha nota, a que lle da nome a cada lámina, senón tamén outras frecuencias que andaban por alí arriba.

Resulta que con unha lámina, ou calquer porción de material prismático (p.ex. un tubo), os modos de oscilación producen sobretonos (frecuencias por encima da mais baixa) que non son armónicos (non son múltiplos da primeira), e hai que andar cambiando a forma para conseguir que os sobretonos se convirtan an armónicos. Total, que hai que darlle forma ás láminas ata conseguir que esas frecuencias sexan múltiplos da nota fundamental, e ahí empeza o lío... múltiplos si, ¿pero cales?. A resposta a esa pregunta marca a diferencia entre xilófonos e marimbas, anque a resposta non é única: as marimbas gardan as proporcións 1:3:6 e os xilófonos 1:4:8, anque moitos autores indican xusto o contrario. O caso é que os xilófonos case sempre "atacan por arriba", con notas por encima de C4, e as marimbas arrancan moito mais abaixo, C2 e incluso A1, e onde mais se lucen.

Marcha pola Unidade

Esta foi a primeira canción que aprendín a tocar nas láminas. Non se trataba só de aprender uns compases, que si, senon que tamén que fose algo que tivese certo significado, unha historia.

E nada mellor que a combinación de Mikel Laboa e Bertolt Brecht, un cantautor que axudou a moitos vascos souberan que son vascos, homes de ben, e que tiveran fachenda de selo, cantando as letras dun home cheo de humanidade.

Unha pequena homenaxe ao pobo vasco que, cando aprendin esto, perdera a tres grandes homes en moi pouco tempo: Mikel Laboa, Chillida e Jorge Oteiza

Pequenos miragres de afinación

G3S01Seguimos co espectrograma de Fourier. Que un espectrograma saia como o da esquerda é un pequeno miragre, vexamos:

Por un golpe de gracia, o son que se analizou contén nada menos que CINCO frecuencias claras... non está mal para ser un cacho de madeira: as frecuencias son: 286.50Hz, 861.29Hz, 1722.33Hz, 3186.97Hz e 4843.73Hz.

Se dividimos a segunda, terceira, cuarta e quinta pola primeira obtemos 3.006, 6.011, 11.123 e 16.905.... as tres primeiras responden, case, á relación 1:3:6, a cuarta e a quinta, o que escrebe, ainda non atopou maneira de controlalas, pero a relación das tres primeiras era o que se andaba buscando. O lector preguntaráse qué raio era o que se estaba buscando.

Gracias a Fourier

Diagrama de Fourier do son dunha lámina de marimbaAlguén imaxina que é isto?.

Como xa se pode adiviñar polo título, os que oiron falar del dirán que tal parece un diagrama de Fourier, e acertaron.

Este en concreto correspóndese co son que emite unha lámina de marimba en pleno proceso de afinación, e está cerca do seu obxectivo, que non é outro quedar a nota que lle toca... e que teña un timbre agradable. E cómo se consegue esto? pois coa axuda de Fourier.

 

Gracias a Pitágoras

PitagorasConCordasA este home, hai unha chea de anos, como 2500, deulle por facer experimentos coas cousas, motivo polo que era despreciado porque eso de experimentar o consideraban unha debilidade (tiña que facer cousas coas mans porque non lle daba a cabeza!!). Como parece que lle gustaba a música, e prefería que houbera máis dun músico, preocupouse por averiguar qué sons quedaban "ben" cando se oían xuntos.

Así que se puxo a facer experimentos cun instrumento de corda, dunha soa corda, o monocordio, e chegou á conclusión de que os sons que quedaban ben xuntos eran aqueles que se producían con relacións de lonxitude de corda de números enteiros, canto máis baixos mellor. (1,2,3,4).

Este experimento, e sobre todo esa conclusión, marcou TODA a música occidental ate hoxe, incluída a escala musical coñecida como Pitagórica.

O da Consonancia e a Disonancia non son outra cousa que "sonidos que quedan ben xuntos"... ou non, e ten que ver cos armónicos.

AfinacionBatidos03Se algunha vez escoitástedes un acordeón, o seu son amosa uns batimentos (subidas e baixadas de volume nos sonidos que produce), sobre todo en rexistros nos que xogan mais dunha lengüeta.
 
O acordeón é un instrumento musical, de vento, pero que se denomina de lengüeta libre, como a armónica. Consta de varios xogos de lenguetas que, en distintas combinacións, constitúen o xogo de rexistros do acordeón. A cantos mais xogos, mais rexistros ten o acordeón.
 
Pero hai un xogo que nunca soa el solo.
 
Os acordeons mais sinxelos son os de dous xogos, e só teñen duas voces, a voz sinxela e a de dúas combinadas... a pesares de que as combinacións totais son tres: cada unha das voces por separado e as duas xuntas.(1, 2, 1-2)
Os seguintes, os de tres xogos, teñen cinco voces, a pesares de que as combinacións son 7 (1, 2, 3, 1-2, 1-3, 2-3, 1-2-3).
Os de catro xogos, ata trece, eso que hai mais combinacions, ata 15 (1, 2, 3, 4, 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4, 1-2-3, 1-2-4. 1-3-4, 2-3-4. 1-2-3-4).
 
¿Por qué hai unha ou duas voces, xogos de lengüetas, que non veñen preparadas no acordeón para que soen elas solas?
 
Porque están desafinadas para "pelexar" con outra das voces, esa que sí que soa sola, e producir eses batimentos sobre as súas notas.
A desafinación que produce eses batimentos da por resultado unha escala musical anómala en termos das notas que produce, porque a desafinación non é a mesma en cada unha das notas en termos do axuste que se coñece normalmente, o que se fai con un afinador.
 
¿Cómo se conseguen eses batimentos?
Os batimentos sobre unha nota determinada, asociada a unha frecuencia base, conséguense facendo que soe outra nota "parecida", cuxa diferencia en frecuencia é a frecuencia dos batimentos.
 
Exemplos:
Se queremos 4 batimentos por segundo, que veñen sendo 4Hz, sobre unha nota La4, que serían 440Hz, teríamos que producir outra nota que sonase a 440+4=444Hz. (ou 440-4=436Hz)
Se queremos os mesmos 4 batimentos por segundo sobre outra nota calquera, por exemlo un Do3, que son 130.8Hz, teríamos que producir outra nota con frecuencia 4Hz superior ou inferior 130.8+4=134.8Hz ou 130.8-4=126.4Hz.
 
Se queres experimentar coa xeneración de batimentos, na seguinte ligazón pódense facer experimentos:
 
A forma de velo, usando unha folla de cálculo e un pouquerrechiño de matemática de ondas, consiste en facer unha serie temporal de cada unha das ondas... e facer a suma. Observaremos que cada unha das ondas produce, en termos de amplitude, unha onda de amplitude constante, pero que sumadas dan como efecto os cambios de amplitude, os batimentos.
 
Por si alguén quere evitar iso de andar coas follas de cálculo, aquí van algúns resultados. O primeiro, segundo e terceiro exemplo saen combinando ondas de amplitudes iguais, mentras que o cuarto é con amplitudes diferentes, o resultado é que nos tres primeiros o batimento chega a amplitude cero, mentras que no último o batimento non chega a "amplitude cero", porque quen vai "á contra" non ten "forza" abondo.
AfinacionBatidos02
AfinacionBatidos03
AfinacionBatidos04
AfinacionBatidos05
 
Vemos que as frecuencias son distintas, e agregándolle unha frecuencia constante de 4Hz a cada unha das frecuencias base os batimentos que se producen son sempre os mesmos. 
 
Andar sumando ou restando frecuencia ás notas con independencia da octava da nota ten como consecuencia unha desafinación desigual, se usamos un afinador, neste caso, desafinador tradicional, como se pode ver na seguinte táboa:
Frec Base Base+4 Base-4 Base Base+4 Base-4 Cents(f+4) Cents(f-4)
880 884 876 A5 0c A5 08c A5 -08c 7,9 -7,9
440 444 436 A4 0c A4 016c A4 -016c 15,7 -15,8
220 224 216 A3 0c A3 031c A3 -032c 31,2 -31,8
110 114 106 A2 0c A#2 -038c G#2 036c 61,8 -64,1
73,7 77,7 69,7 D2 07c D#2 -02c C#2 010c 91,5 -96,6

Visto en términos de cents, se as notas son baixas, hai que desafinar moito máis.
 
Un afinador non é o mais apropiado, precísase un medidor de frecuencia absoluta (que detecte os 4 hercios) se se quere afinar aparte, ou ter as dúas lenguetas e un micro con visualización temporal do sonido (un osciloscopio vai mellor). En termos de afinación tradicional, o que hai que desafinar cada nota para producir catro batimentos por segundo é o seguinte:
AfinacionBatidos01
¿Por qué pasa todo esto?
 
No mundo, o tempo (de repetición) e a frecuencia son dúas versións da mesma cousa. A diferencia somos nós.
 
Lembrando as primeiras películas de cine, mudo, parecía que as imaxes iban a saltos... iban a 15 ou 17 imaxes por segundo (15Hz, 17Hz), despois cambiaron a 24 imaxes por segundo e o efecto desapareceu. Os humáns funcionamos, aproximadamente, a 20Hz: se as cousas pasan a menos de 20Hz percibimos o tempo, pero se pasan a mais e son repetitivas o que percibimos é a frecuencia. Os 20Hz veñen sendo, en tempo, 50milisegundos.
 
Ademais, temos un mecanismo diferente para a percepción do tempo ou da frecuencia do son. Co tempo somos lineais.... e coa frecuencia logarítmicos. Consciente o redactor do pavor que provoca en moitos lectores o uso do termo "logaritmo", que saiba o lector que a maioría das percepcións humáns son logarítmicas: luz, ruído (os famosos decibelios) e, por suposto, a frecuencia do sonido.
 
A octava que vai de A3 a A4 ten un rango de 440-220=220Hz, a seguinte, de A4 a A5 ten 880-440=440Hz, que é máis que o rango de tódalas octavas anteriores sumadas. Parécenos que a variación de notas de A3 a A4 é o mesmo que de A4 a A5, sen embargo é o dobre... porque neso, somos logarítmicos.
 
Co son en locais onde o son rebota nas paredes pásanos o mesmo, se o local é grande percibimos un eco, o tempo, se o local é mediano percibimos unha reberveración (un batimento)... pero si é pequeno case que non nos enteramos e a cousa xa soa ben e como moito temos algún acople.
 
Os tamaños dos locais para estas cousas volven a sair da frecuencia do tema, combinado coa velocidade do sonido (343m/s). Un eco, aprox 0.10segundos, ou 10Hz, o teremos en locais de 34 metros en diante. Unha reverberación (a fronteira co eco é variable), será ata frecuencias de 20Hz, esa frecuencia á que funcionamos os humans, e será en locais de 17 a 34metros. En locais de menos de 17 metros seguiremos apreciando reverberacións, pero nos locais inferiores a 8m xa será bastante difícil e estaríamos apreciando "acoples", tamén de definición bastante subxetiva.
 
As fronteiras son difusas, pero deixaremos de percibir un batimento para pasar a un intervalo (de duas notas) de mellor ou peor disonancia, cando a diferencia sexa maior dos devanditos 20Hz.
 
E outra curiosidade: Se fixeramos o análisis de frecuencias dun sonido con batementos non veríamos mais que as frecuencias das notas, e non a dos batimentos. A explicación está en que facemos o que se chama "demodulación de amplitude", un mecanismo moi similar ao que fan os aparatos de radio que reciben na onda media (AM->Amplitude Modulada)
 
Todo isto veu a que alguén comentoume que iso da afinación dos batimentos nos acordeóns éche unha cousa moi especial e misteriosa.
Esto foi o que a este humilde redactor lle pareceu o asunto, pouco amigo dos misterios.

MarimbaC2G3Esta é outra marimba, a segunda, esta vez vai de C2 a G3 con A4 en 440, o que ven a ser que a lámina mais baixa ten una frecuencia fundamental de 65.4Hz do C2 ata os 196Hz do G3, de Do a Sol, unha octava e media para entendernos. O primeiro que chama a atención son os tubos, logo imos a iso, e arriba 12 láminas nunha soa fila, o que quere decir que non hai alteracións na escala (non hai bemoles, e non vale sacar a cousa de contexto), ven sendo o que os músicos chaman un instrumento diatónico, neste caso en Do Maior.

Por qué non ten duas filas?, Porque sairía demasiado grande e incómoda á hora de tocala, a lámina mais baixa mide mais de 500mm de longo e 100mm de ancho, incluso é un pouco alta, 1.3m. A razón de facer unha marimba con notas tan baixas foi certa fascinación polas notas baixas da anterior, e quixen ir unha octava mais abaixo, para que servise de instrumento de acompañamento... para dar os baixos.

SoundPerception

Pero o de ir unha octava mais abaixo ten as súas consecuencias, as frecuencias son a metade, polo tanto as lonxitudes de onda saen o doble... e todo ten que ser o doble de tamaño para que as cousas funcionen igual. Os tubos dos resonadores saen o doble de longos, as láminas deben ser mais longas e mais anchas (a lonxitude baixa a frecuencia, e a anchura aumenta o volumen). Por se fora pouco, a medida que as frecuencias se aproximan aos 20Hz a nosa percepción é cada vez menor, que nos imos volvendo mais xordos, polo que hai que procurar que suba a enerxía sonora que emite o instrumento para que o percibamos ao mesmo volumen que os demais... así que todo faise cada vez mais grande.

As curiosas ondas da figura veñen a decir como percibimos o son en función da sua potencia e a frecuencia característica, e veñen a decir que entre 500 e 4000Hz e onde mellor oimos, onde precisamos menos enerxía acústica e case plano (as compañías de teléfono saben esto moi ben), pero en canto a frecuencia baixa precisamos cada vez mais enerxía para oir mais ou menos o mesmo. No caso que nos ocupa, unha nota C2 (65Hz)  a volume relativamente baixo necesita 20dB mais que unha C3 (130Hz) para oirse mais ou menos igual, ou sexa, 10 veces mais potencia. O que nos ven a decir é que, ou usamos resonadores que "amplifiquen" o sonido ou non se vai oir case nada. Ahí é onde entran os tubos.

AfricanMarimbaHelmholtzResonatorHai varias técnicas para facer resonadores, algo que se ve moito é o dos tubos, abertos por un lado e pechados por outro ou abertos por ambos lados. Pero non é a única solución, o saber popular xa descubriu os resonadores de Helmholtz, un tipo moi listo que describiu o seu funcionamento, pero que os negriños de África xa sabían que poñendo cabazas abertas debaixo das láminas aquelo amplificaba os sons baixos dunha forma considerable. Pódese decir que un garrafón de vidro dos de toda a vida, deses que son tipo bola, son un resonador de Helmholtz, tipo muelle con unha masa atada nun extremo (o muelle é o volume grande do balón, e a masa oscilante o aire que está no cuello da botella). Pero de algo valeu que lle puxera números o Sr. Helmholtz ao asunto, porque isto dos seus resonadores serviu para moito mais, por exemplo algo que se queda na curiosidade como explicar o son que fai o coche cando imos só coa ventanilla de atrás aberta.... ou algo tan comercial como facer paneles acústicos que melloren o confort de grandes habitáculos, e que poidamos escoitar concertos en grandes auditorios sen os molestos ecos das paredes.

O caso é que os resonadores de Helmholz están moi ben, amplifican ben os baixos cuns tamaños moito menores que os tubos, pero teñen un problema, só amplifican unha frecuencia... e nas láminas tiñamos tres frecuencias importantes, así que preferín usar tubos, son aparatosos, pero darán mellor calidade de sonido.

ResonadoresDeTubojpgÁ hora de elixir un resonador de tubo temos duas opcións: aberto polos dous lados ou pechado por un lado. Os que son pechados por un lado só amplifican frecuencias que son múltiplos impares da fundamental (3,5,7..), pero os abertos polos dous lados amplifican todos os múltiplos enteiros (2,3,4,5,6..). Como a afinación é, unha vez mais, 1:3:6, o tubo aberto amplificaría tódalos armónicos destas láminas, e neste caso como son mais baixas non hai tantos problemas de captación como no caso da primeira marimba, por se fora pouco, tamén amplificaría o terceiro armómico, ese que é x6, así que parece que é perfecto. Só ten un pequeno inconveniente: a lonxitude dos tubos pechados é 1/4 da lonxitude de onda, mentras que os abertos son 1/2. Ao ser as frecuencias a metade, doble tubo, por ser tubo aberto, doble que os pechados, así que nos enfrentamos a que se un resonador dun C3 en tubo pechado ten que ter 600mm de lonxitude, o noso caso dun C2... 2400mm. Afortunadamente importa a lonxitude do tubo, non ten que ser dereito e podemos darlle voltas como ás trompetas, ainda así o resultado de todo o invento foron 19 metros de tubo de 90mm e 40 codos.

A pregunta que queda por facer, e cuxa resposta non é tan evidente, é de cómo é posible que un resonador "amplifique" o sonido. Un simple tubo, que non se enchufa, que non leva pilas nin fonte de enerxía de ningún tipo, consegue que a nosa percepción sexa que un pedazo de madeira golpeada con un pau con unha bola de lá oigase moito máis se leva tubo que se non o leva. A resposta é que un resonador non é un amplificador, non aporta enerxía, curiosamente só a almacena... e logo a solta. Cando se da un golpe á madeira a onda de choque do sonido é, literalmente, absorbida polo resonador e logo liberada pouco a pouco. O noso oído fai o resto, pois o volume do golpe, se fora 100 veces maior que o que fai cando queda a lámina vibrando, só é percibida unhas poucas veces mais. O resonador almacena e logo reparte, pero a nosa percepción é o que os matemáticos chaman logarítmica (medímola en dB, deso van os decibelios), pero a enerxía que libera o resonador faise cun "decaemento exponencial". E ise foi outro argumento para usar tubos abertos, que como son mais longos... almacenan mais enerxía e logo o sonido "dura mais".

Acompaño algunhas imaxes do proceso de construcción, por se algún pensaba que me volvín tubeiro... non son de cobre, son tubos de pvc deses que se usan para pluviais e fecais, istes tiveron un destino máis artístico.

MarimbaC2G301

MarimbaC2G302

MarimbaC2G303

MarimbaC2G304

MarimbaC2G305

 

AfinacionLaminasImaxe28Para medir cal é a nota actual dunha lámina, xunto cos valores das frecuencias que a acompañan, pode recorrerse a dous métodos:

1) Análise do sonido completo mediante unha computadora con un micrófono e un software de adquisición e análise de son. Para facer a lámina oscilar o máximo posible en todos os modos de vibración, a lámina suxétase polo punto aproximado do nodo 1 (onde a corda de suxeición pasará no conxunto final) e golpearase cunha baqueta no extremo oposto. O motivo para golpealo ao final é que é a única área da lámina que oscila en todos os modos ao estar lonxe de todos os nós.

Utilizando un PC con windows, un micrófono acoplado mediante un dispositivo USB e o software Audacity pódese obtener un gráfico como iste:

 

AfinacionLaminasImaxe28Espectrograma do son dunha lámina G4 con afinación 1-4-8

Neste caso trátase da análise de son dunha folla G4 xa afinada, na que se poden observar os picos do gráfico da Transformada de Fourier correspondente á frecuencia fundamental (392 Hz), xunto con dúass e tres octavas (G6 e G8) e outros picos correspondentes a modos de oscilación superiores (Transversal 4 en D # 8 e outros picos menores correspondentes a modos laterais e torsionais).

2) Búsqueda de modos parciais usando un afinador. Esta técnica pode requirir un pouco máis de habilidade por parte do sintonizador, xa que os nodos e os antinodos non sempre están onde indican os cálculos teóricos ou as estimacións. Consiste en bater a lámina de maneira que o xeito en que se excita en maior medida é o que se desexa comprobar, polo tanto, é importante tanto o lugar por onde se suxeta a lámina como o lugar do golpe. En cada proba, o afinador debe estar preto da lámina e indicará a nota predominante só cando se produce o son,polo que se o que se está a procurar é unha nota superior, a frecuencia será máis alta e a duración do son será breve. Aínda así, a busca empregando este método só permite identificar a fundamental e os dous primeiros sobretonos, que é abondo para facer unha afinación triple. Non permite comprobar a presenza de oscilacións en modos laterais ou de torsión que poidan estar alterando o timbre desexado da lámina. É conveniente usar un sintonizador que indique a octava, para comprobar se se detecta unha nota próxima á desexada.

Para asegurarse de que un modo particular se produce mediante golpes cunha baqueta, é conveniente ter presente as frecuencias previsibles e o perfil de cada modo de oscilación. As recomendacións para os tres primeiros modos son:

 

Modo SuxecciónGolpe Baqueta 
Transversal 1  Nodo 1 (22%L)  Central 50%L  Branda 
Transversal 2  Centro (50%L)  Cuarto 25%L o 75%L  Semidura 
Transversal 3  Extremo (11%L)  Central 50%L  Dura 

Transversal 1

Transversal 2 Transversal 3 
AfinacionLaminasImaxe01 AfinacionLaminasImaxe03 AfinacionLaminasImaxe02

Esta foi a primeira canción que aprendín a tocar nas láminas. Non se trataba só de aprender uns compases, que si, senon que tamén que fose algo que tivese certo significado, unha historia.

E nada mellor que a combinación de Mikel Laboa e Bertolt Brecht, un cantautor que axudou a moitos vascos souberan que son vascos, homes de ben, e que tiveran fachenda de selo, cantando as letras dun home cheo de humanidade.

Unha pequena homenaxe ao pobo vasco que, cando aprendin esto, perdera a tres grandes homes en moi pouco tempo: Mikel Laboa, Chillida e Jorge Oteiza

 

Martxa baten lehen notak

Letra: Bertolt Brecht. (Ausburg 10/02/1898-Berlin 14/08/1956)

Música: Mikel Laboa (Donosti, 15/06/1934 - 1/12/2008)

Eguzkiak urtzen du gohian
gailurretako elurra
uharka da jausten ibarrera
geldigaitza den oldarra.
Gure baita datza iguzkia
iluna eta izotza
urratu dezakeen argia
utuko duen bihotza.
Bihotza bezain bero zabalik
besoak eta eskuak
gorririki ikus detzagun egia
argiz beterik burua.
Bakoitzak urraturik berea
denon artean geurea
etengabe gabiltza zabaltzen
gizatasunari bidea.
Inork ez inor menpekorik har
nor bere buruaren jabe
herri guztiok bat eginikan
ez gabiltz gerorik gabe.
Batek goserikan diraueno
ez gara gu asetuko
beste bat loturik deino
ez gara libre izango 
   El sol funde en lo alto
la nieve de las cimas
torrencialmente baja hacia los valles
un impulso incesante.
En nosotros está el sol
el corazón que puede fundir
y la luz que puede raspar
hielo y oscuridad.
Con tanta generosidad
como pasión,
veamos con claridad
toda la verdad.
Desbrozando cada uno el suyo,
y entre todos el nuestro
ampliemos sin interrupción
el camino humano.
Dueño cada uno de sí mismo,
nadie en lugar alguno dominado.
Unidos todos los pueblos
tendremos nuestro futuro.
En tanto haya un solo hambriento
no nos saciaremos.
Mientras haya un oprimido
no nos liberaremos.
Martxa Baten Lehen Notak

AfinacionLaminasImaxe27

Numerosos investigadores intentaron o método de cálculo por elementos finitos para obter perfís óptimos para obter unha lámina con afinación preestablecidal (relación entre tons e sobretons). Neses cálculos foron utilizados modelos complexos de ecuacións diferenciais da mecánica clásica como o de Euler-Bernoulli que non foron tan precisos como era necesario, precisándose refinamentos máis modernos, como as ecuacións diferenciais introducidas pola gran figura de enxeñería mecánica moderna Stephen Timoshenko. Con todo iso, se a lámina é de madeira natural, a variabilidade conleva a que os pasos finais sexan sempre manuais. O uso de materiais sintéticos, máis estables e precisos nas súas características, permiten maiores aproximacións (como ten feito a casa Yamaha)

 

Resultados de simulación de perfiles óptimos para distintas afinacións

AfinacionLaminasImaxe13  AfinacionLaminasImaxe12 
AfinacionLaminasImaxe11 AfinacionLaminasImaxe23
AfinacionLaminasImaxe24 AfinacionLaminasImaxe25

   
   
   

Sen imaxes
Sen imaxes